电阻电路的一般分析

节点

• 图论、支路、结点、有向图定义

• 独立 KCL 方程

• 路径、连通图、回路、树枝、连枝、单连枝回路、基本回路的概念

• 支路电流法和 2b 法

• 图论知识点小结

• 网孔电流法，本质含理想电源、受控源处理方法，增补方程方法和书写原则

• 回路电流法，及与网孔回路法的区别

• 结点电压法，与回路电流法的优略，本质及其书写规则

• 结点电压法含理想电源，受控源的处理，参考结点的选取，如何根据黑箱子的结点电压方程构造电路

• 第三章回顾

• 第三章课后题

3.1 电路的图

• 线性电路的一般分析方法：

  • 普遍性：对任何线性电路都适用

  • 系统性：计算方法有规律可循

• 方法的基础：

  • 电路的连接关系：KCL、KVL 定律

  • 元件的电压、电流关系特性(VCR)

  复杂电路的一般分析方法就是根据 KCL、KVL 及 VCR 关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和结点电压法

电路的图以图论(Graph Theory)为依托，但两者有区别：

支路(branch)，结点(node)

1. 电路图中支路是实体，结点是支路的连接点，结点是由支路形成的，没有了支路便没有了结点

2. 图论中支路的端点必须是结点，但结点则允许是孤立结点，表示一个与外界不发生联系的事物

在电路中：通常将元件串联组合看作一条支路，而非按照元件个数视为一条支路

在分析时，很少将元件并联视为一条支路。应该分开来分析

有向图： 电路图中支路常取其关联电压、电流参考方向。支路可以赋予一个方向，即电压、电流的关联参考方向，赋予支路方向的图称为有向图，否则被称为无向图

3.2 KCL 和 KVL 的独立方程数

1. KCL 的独立方程数

n 个结点的电流，独立的 KCL 方程为 n-1 个。(n-1)个结点称为独立结点

独立方程：方程之间不能相互表示。如$x+y=1，2x+2y=2$这两个方程相互表示，不是独立方程

相应的，KVL 也有独立回路。将能够对应一组线性独立的 KVL 方程的回路称为独立回路

回路和独立回路的概念与支路的方向无关，可以用无向图的概念描述

独立回路就是谈一个具体的路径。例如下图，虽然看支路方向并不能构成一个回路，但单论独立回路是可以的

• 路径：结点之间的一系列支路构成图的一条路径

  起点出发到达终点，期间的一系列支路就构成了路径

• 连通图：图中任意两结点之间至少存在一条路径

  也就是电路图，不存在孤立的结点

• 回路：若一条路径的起点和终点重合，且经过的其它结点不重复，则此闭合路径就构成了图的一个回路

树(tree)： 用树寻找图的独立回路组，即独立 KVL 方程

连通图的数： 包含图的全部结点，且不包含任何回路的连通子图

就是既要连到所有结点，还不能构成回路

树支和连支： 树中包含的支路被称为该树的树支，而其他支路则称为对应于该树的连支

$全部支路=树支+连支$

结论：

1. 具有 n 个结点的连通图，任何一个树的树支数为(n-1)

2. 图的任一个树，加入连支后，就会形成一个回路，且此回路除了所有连支以外均由树支组成，这种回路称为单连支回路或基本回路

   这是一个树

   

   加入一个连支

   

   则除了加入的这个连支，其他均由原本的树支构成。这样的回路被称为单连支回路或基本回路

3. 每个基本回路仅含一个连支，且这一连支不出现在其它基本回路中。说明连支和回路有一一对应的关系

   由连支形成的全部基本回路构成的基本回路组，基本回路的个数显然等于连支数

   如图，两个回路的连支不同，也不会出现在对方的回路中

   

4. 每个连支只在一个回路中出现，这些 KVL 方程必须构成独立方程组。根据基本回路所列出的 KVL 方程组是独立的

5. 具有 b 条支路和 n 个结点的电路，连支数$l=b-(n-1)=b-n+1$条，即图的独立回路数。选择不同的树，得到不同的基本回路组。只要给定结点，则连支数(b-n+1)是定值，树支的数(n-1)也是定值

6. 如果把一个图画在平面上，能使它的各条支路除连接的结点外不再交叉，这样的图称为平面图，否则称为非平面图

   如图，总共在四角分别有一个结点，中间没有结点，但是有支路交叉，所以这个图是非平面图

   

   对该图稍加改造，用导线将等电位的点非交叉的连接，即可转为平面图

   

7. 平面图具有网孔的概念，网孔是平面图自然的孔，它限定的区域内不再有支路

   不包含其他支路的回路被称为网孔

   平面图的全部网孔是一组独立的回路，平面图的网孔数就是独立回路数

   平面图：$连支数(b-n+1)=网孔数=独立回路数=独立KVL方程数$

2. KVL 的独立方程数

其中$n=4，b=6$

所以$连支数=b-n+1=3=网孔数=独立回路数=独立KVL方程数$

3.3 支路电流法

1. 支路电流法

以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法

对于有 n 各结点、b 条支路的电路，要求解支路电流，未知量共有 b 个。只要列出 b 个独立的电路方程，便可以求解 b 这个变量。有多少个 b 就是要求多少条之路电流

2. 独立方程的列写

1. 从电路的 n 个结点中任意选择 n-1 个结点列写 KCL 方程

2. 选择基本回路列写 b-(n-1)个 KVL 方程

例题 1

$将串联的元件看作一条支路，则共有6条支路，b=6；结点数为4，n=4\\ 得到KCL方程有n-1=3个，KVL=b-n+1=3个\\$

小结：

1. 支路电流法求解的一般步骤：

   1. 标定各支路电流(电压)的参考方向

   2. 选定(n-1)个结点，列写其 KCL 方程

   3. 选定 b-(n-1)个独立回路，指定回路绕行方向，结合 KVL 和支路方程列写$\sum R_ki_k=\sum u_{Sk}$

   4. 求解上述方程，得到 b 个支路电流

   5. 进一步计算支路电压和进行其他分析

2. 支路电流法的特点：

   就是列出 n-1 个 KCL 个 b-n+1 个 KVL 方程。优点是方程列写方便直观，缺点是方程数量较多。所以在支路数较少的情况下使用方便

例题 2

$如图，其中n=2，b=3.列出n-1=1个KCL，b-n+1=2个KVL\\$

列向量相乘？

例题 3

$首先将与电流源串联的11欧电阻去掉，则该支路仅剩一个电流源，称其为无伴电流源\\ 确定n和b，n=2，b=3。所以n-1=1个KCL，b-n+1=2个KVL\\$ $\\此时会发现，算KVL无法得知电流源的电位差，则设一个U为电流源的电压\\ 多一个未知数，则需要增加一个方程来求解$

辅助方程： 辅助方程不必包含新增的未知量，即使只是其中任意一个未知数=一个值也属于辅助方程

如本题中，$I_2$就是电流源的电流，则

方法 2：

对于简单关系可以不用按支路电流法去一个一个列式子

例题 4

注意： 有受控源的电路，方程列写分两步：

1. 先将受控源看作独立源列方程

2. 将控制量用未知量表示，并带入原方程中，消去中间变量

支路电流法是列写 n-1 个 KCL 和 b-n+1 个 KVL。其中支路电压法就是将 KVL 中每个支路的电压转为 IR 形式，从而将电压换成支路电流

将支路电流法 b 个方程和元件的 VCR 的 b 个方程合起来，得到 2b 法

3.4 网孔电流法

1. 网孔(mesh)电流法

以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法称为网孔电流法。它仅适用于平面电路

• 基本思想：为了减少方程个数，假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示，来求得电路的解

此处 l1 电流对应 i1，l2 电流对应 i3，但是 i2 是向上，则 i2 为向上减向下

• 列写的方程：网孔电流在网孔中是闭合的，对每个是相关结点均流入一次，流出一次。所以 KCL 自动满足

  

  因此网孔电流法是对网孔回路列写 KVL 方程，方程数为网孔数

网孔电流法方程的列写步骤：

1. 选网孔为独立回路，并确定其绕行方向

2. 以网孔电流为未知量，列写其 KVL 方程

3. 求解上述方程，得到 m 个网孔的电流

4. 求解各个支路电流

5. 其他分析...

网孔电流法的特点： 仅适用于平面电路

2. 方程的列写

以上图举例分析：

$先设网孔电流并求出，左网孔电流为i_{l1}，右网孔电流为i_{l2}\\ 其中，左边支路电流为i_1，向上，中间支路电流为i_2，向上，右边支路电流为i_3，向下\\ 由此可得i_1=i_{l1}，i_2={i_{l2}-i_{l1}}，i_3=i_{l2}\\ 关于这个i_2，对正上方结点列KCL就能得到i_{l1}+i_2=i_{l2}\Rightarrow i_2=i_{l2}-i_{l1}\\ 对左边网孔：\\ R_1实际电流i_1向上，则R_1上负下正，R_2实际电流i_2向上，则R_2上负下正\\ 由此可得，R_1与i_{l1}关联、R_2与i_{l1}非关联、u_{S1}与i_{l1}非关联、u_{S2}与i_{l1}关联\\ 列KVL：R_1i_{l1}-(i_{l2}-i_{l1})R_2-u_{S1}+u_{S2}=0\Rightarrow R_1i_{l1}+(i_{l1}-i_{l2})R_2-u_{S1}+u_{S2}=0\\ 同理，可得出右边网孔：\\ R_2(i_{l2}-i_{l1})+R_3i_{l2}-u_{S2}=0\\ (网孔数=KVL方程数量=2)\\ 将方程转为网孔电流与电源的线性关系\\ (R_1+R_2)i_{l1}-R_2i_{l2}=u_{S1}-u_{S2}\\ -R_2i_{l1}+(R_2+R_3)i_{l2}=u_{S2}$

第三点按我总结的记：按电流方向走过电源，如果是-到+则是升压，反之+到-则是降压 (这是第一张 KVL 就提到了的)

例题 1

例题 2

例题 3

另一种增补方程的思路：将控制量用网孔电流来表示

小结；

3.5 回路电流法

1. 回路电流法

KCL 自动满足： 对于任意一个回路，流入支路电流=流出支路电流

以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。它适用于平面和非平面电路

平面电路才有网孔的定义，所以网孔电流法局限在平面电路上。回路电流法没有该限制，在非平面电路中也可使用

• 列写方程的个数：此处回路电流法和网孔电流法都是一样的。对于 b 条支路，n 个结点的电路而言，$独立 KVL 数=连支数=基本回路数=单连支回路=b-n+1=(平面电路时)网孔数$

回路电流法就是对独立回路列写 KVL 方程，方程数为$b-(n-1)=b-n+1$

与支路电流法相比，方程数量减少 n-1 个

支路电流法中 KCL 数有 n-1 个，KVL 数有 b-(n-1)个，而回路电流法只需要 b-(n-1)个 KVL 即可

回路电流法列写方程的一般步骤：

1. 选定 l=b-n+1 个独立回路，并确定其绕行方向

2. 对 l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写其 KVL 方程

3. 求解上述方程，得到 l 个回路电流

4. 求各支路电流

5. 其他分析

回路电流法的特点：

1. (优点)通过灵活的选取回路设定回路电流可以减少计算量

2. (缺点)互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻

2. 方程的列写

与网孔电流法列法有所相同之处，网孔替换为回路：

1. 一个回路的自电阻总为正

2. 对于两个回路的公共支路，若电流方向相同，则带正，否则带负

$回路l_1：回路电流i_1顺时针，R_{1、6、5、4}分别是i_1的自电阻(该回路上所有电阻之和，永远是正)\\ l_1中的R_{4、5}也是l_2的公共支路，同时i_1与i_2方向相同，带正号\\ l_3与l_1的公共支路为R_{6、5}，电流方向相反，带负号\\ l_1经过两个电源，其中U_{S1}降压，带负号、U_{S5}升压带正好，则列l_1的KVL如下：\\ (R_1+R_6+R_4+R_5)i_1+(R_4+R_5)i_2-(R_5+R_6)i_3=-U_{S1}+U_{S5}\\ 其他回路KVL方法相同，\\ (R_4+R_5)i_1+(R_2+R_4+R_5)i_2-R_5i_3=U_{S5}\\ -(R_6+R_5)i_1-R_5i_2+(R_3+R_5+R_6)i_3=-U_{S5}$

只让一个回路电流经过 R5 支路，该回路为 l2，回路电流是 i2。所以要求的 i 就转为了求 i2，一步到位

方程的标准形式：

回路电流法的列式和网孔电流法是一样的，只是回路电流法选取更加灵活，可以选择中间包含支路的回路

3. 理想电流源支路的处理

针对无伴电流源的处理：

• 引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程

  该题中设了一个 U 作为电流源左右电位差

• 用之前的网孔电流法去做：

  

  增补方程就是$I_S=i_2-i_3$，针对相交结点列 KCL 得到

• 选择独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路，该回路电流即$I_S$

  与先前求支路电流 i 有着异曲同工之妙

• 回路电流法去做：

  

  像这样子，$i_2$直接用$I_S$替换，可以少写一个 KVL 方程

4. 受控电源支路的处理

将受控源看作独立电源，再按上面针对电源的方法列方程，再将控制量用回路电流表示

受控源看作独立电源则写在等式右边

关于回路电流法如何选择回路：

(我自己总结的，可能有所不对)

1. 首先，先找出电路的树，连上树支

   也就是找到电路的结点，连起来且没有相交于回路

   按照上面图来看，有 3 个结点，树支则为 3-1=2 个，树的形状为 V 字形

2. 画连支，每个连支与树支都可以形成一个回路，这个回路就是回路电流法所要选择的回路

   还是上面的图，可以画出 4 个连支(左、上、右、右)。这样就可以构成回路$l_{1、2、3、4}$

例 1：网孔电流法

例 2

• 网孔电流法：

  

• 回路电流法：

  

例 3

其中电流源都在边上，很容易得到$i_{1、2、3}$的回路电流等效为电流源电流，因为 4 网孔，所以还差一个 KVL 式子

注意最后一个回路要避开已经等效的电流源，否则白简化了方程

$最后求 I，i\_{1、3、4}相交的结点列 KCL，i_3、i_4 入，i_1 出，得到 I=3A$

3.6 结点电压法

以 KCL 为依据，要列 n-1 个方程

1. 结点电压法

以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路

• 基本思想：选结点电压为未知量，则KVL 自动满足。无需列写 KVL 方程。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便的得到各支路电压、电流

  结点电压在数值上相当于结点相对于参考点的电位

• 列写的方程：结点电压法列写的是结点上的 KCL 方程，独立方程数为$(n-1)$

  注意：

  1. 与支路电流法相比，方程数减少 b-(n-1)个

  2. 任意选择参考点：其它结点与参考点的电位差即为结点电压，方向为从独立结点指向参考结点

  

2. 方程的列写

1. 选定参考结点(GND)，标明其余 n-1 个独立结点的电压

2. 列 KCL 方程，i 流入=i 流出

通常写方程时，将电源产生的电流放在等式右侧

$互电导只有为一次相邻才行，比如结点n1和结点n2之间的G_{R_2}是互电导。而n1和n3就不是一次相邻，所以没有互电导$

例 1

例 2

当结点 5 为参考电位时，结点 4 的电位差可直接得出与 50V 电压源一致

例 3

例 4

例 5

3. 无伴电压源支路的处理

1. 方法 1：设未知量，列增补方程

   

2. 方法 2：选择合理的参考点

   

4. 受控电源支路的处理

将受控源看作独立电源列方程，再将控制量用结点电压表示

例 1

例 2

例 3：重点看看

任何一个结点的自导=该结点与其他结点依次连接的互导之和 (包括参考结点)

注意前面说的自导=互导。以 A 结点为例：横着 3=1+0+2，竖着 3=1+0+2

通过 A、B、C 三个结点的 KCL 已经得到 A、B、C 自导，AB 互道、BC 互导。剩余没互道的则看为开路或非一次相邻，如 AC 互导=0.

A、B、C 三个的自身与相互的值已经在 3*3 矩阵中得到，剩下与 D 的关系由前面所说的自导=互导求出：(此处仅计算横向，竖向同理)AD：x=3-1-0 -> 互导=2，BD：x=5-1-2 -> 互导=2，CD：x=3-0-2 -> 互导=1

求出 D 与 ABC 的互导关系后由横竖两式求得自导值，为 2+2+1=5